圆周率π的计算历程

　　钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。” 
　　另一种推测是：使用连分数法。
　　由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
　　最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。” 　我国再回过头来看一下国外所取得的成果。
　　1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是：
　　 π＝3.14159265358979325
　　有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。
　　16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为“鲁道夫数”。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。
　　17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。
分析法时期
　　这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。
　　1593年，韦达给出 

   
  

ENIAC：一个时代的开始  
　　1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录。据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。
　　不过，现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大。现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值：
　　“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”
　　那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？
　　这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。

奔腾与圆周率之间的奇妙关系……  

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