50字证明正整数集内奇数、偶数各占集的一半

50字证明正整数集内奇数、偶数各占集的一半

——中学数学重大错误：将一部分误为全部

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

[摘要]　使康脱脱离健康误入歧途的重大中学数学错误：将一部分误为全部，导致人类认识与研究正整数五千多年来，先一直不知SH定理“正整数集N内奇、偶数各占一半”，近百年来又举世欢呼“伟大发现”：N内有多少个元n相应就有多少个数２n、多少个２n－１、…且各数都∈N。本文据康脱比较两数集各含数多少的对应原理仅用50个字符就证明了SH定理，推翻百年集论。

[关键词]　中学数学重大错误；推翻自然数公理和百年集论；有首、末项的无穷数列；有穷与无穷的对立统一； N内暗含有无穷大自然数n>M

一、会背书得高分者不一定真懂集合论

无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元x配对，就表明A比B多含了一个元，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”就表明A比B多出无穷多个元。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元而不可～B。康脱就断定无理数比自然数多；…。

两集不对等就更谈不上相等；不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个数a。

不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。

二、推翻百年集论的真扩集定理

真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。

证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。

关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。

三、50字符证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大区别使N所有元2倍于所有偶数元

奇数集A：1，3，5，...，2n-1，...

偶数集B：2，4，6，...，2n，...

B～C：1，2，3，…，n，…

数学的正整数集N=A∪B是A也是B的真扩集。真扩集定理断定N至少比A～B多一个元从而推翻百年集论。

上面3数列显示C的各元n都有两对应数n、2n-1且所有对应数组成的集是N，表明N所含元2倍于C所含元——50个字符充分证明了推翻百年集论的：

SH定理：N的元素2倍于C的元素使C～B与B～A一样是N的真子集;因B～A故N内奇、偶数各占一半。

形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。

 N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝

　　　　             　C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝～B

看！稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的事实：在N中与C中｛｝对应的A包含多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元。

故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。

所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

四、证明无穷集C有最大元素

数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。

“无穷集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，①“C的任何元n<n+1∈N”一目了然地表达N中有数n+1>C的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n（C的所有数都由此n代表）。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。

关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。

无穷集B =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为B的x在由大到小取值的过程中必有最后一次的取值：取至a后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

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