利用习题证习题，其妙无比

新疆石河子一三六团中学 李应平

习题教学是数学教学的重要组成部分之一。学生通过分析和解决习题中的问题，不仅可以起到巩固所学的新知识，复习旧知识的作用，而且能够达到锻炼学生的思维能力，形成基本技能的目的。在众多的习题中，有些习题之间是有一定的联系的。在教学中，教师要注意引导学生，善于观察，勤于思考，乐于讨论。通过习题之间的联系，利用习题证习题，不仅可以简捷地解决问题，而且可以通过证题过程的探索和讨论，进行新旧知识的迁移和转化，使学生学习到数学学习的思想方法，提高学生学习数学的能力。
例如，在一节初三几何习题课中，我布置了初三几何课本第三册中习题7.3的以下习题让学生做：
习题一（课本中第116页A组第5题）
已知：如图1，ΔABC内接于   O，AB为直径，
    CAE=   B。
        求证：AE与    O相切于点A。
习题二（课本第117页B组第1题）
已知：如图2，ΔABC内接于  O，AB为非直径
的弦，  CAE=   B。
求证：AE与   O相切于点A。
习题三（课本第117页A组第12题）
ΔABC中，E是内心，   A的平分线和ΔABC
的外接圆相交于点D。求证：DE=DB
         习题四（课本第117页B组第3题）：
          如图4，点I是ΔABC的内心，AI交边BC于点
D，交ΔABC外接圆于点E。
求证：IE是AE和DE的比例中项。
我首先让学生证明第一题和第二题。当学生证完第一题后，由教师引导学生观察第一题和第二题的题目特证，问学生：
这两题有何相同之处？有何不同之处？
答：除了线段AB在第一题中表示直径，在第二题中表示非直径的弦外，其余条件都相同，结论也相同。
由教师指出两题之间的关系，第二题是第一题的推广，而第一题是第二题的特殊情况，它们是特殊与一般的关系。
接着，让学生讨论：如何利用第一题证明第二题？怎样作辅助线？
由学生讨论出，在第二题图中作直径AD，连结CD后，由    B=
     D，将问题“转化”为第一题的情形，此题可解了。
在学生尝到了成功的喜悦后，我接着让他们证明第三题和第四题。（由浅入深）
在引导学生证完第三题后，让学生仔细观察第三题和第四题，然后问：
比较这两题的图形，已知条件和求证的结论，你能发现什么？
答：两题的图形和已知条件，除字母不同外，实质上是相同的；要求证的结论不相同。
在指出第四题是第三题的拓广后，我再问：怎样利用第三题的结论证明第四题呢？
发动学生充分思考、讨论，必要时进行适当的点拨，引导学生将第三题的结论迁移到第四题中得出IE=BE。由此，只需证明BE是AE和DE的比例中项即可。而由AE平分  BAC     BE =EC       BAE=   CBE   ，再由  AEB是公共角    ΔABE      ΔBDE     BE是AE和DE的比例中项。这道“难题”被攻克了。
通过利用习题证明习题的教学，使学生认识到：不仅可以运用定理证习题，利用例题证习题，还可以利用习题证习题。使学生的思维过程中又多了一条路线，开拓了学生的视野，提高了学生的学习兴趣。同时培养了学生化“未知”为“已知”的数学思想和由“特殊”到“一般”的探索的思想方法。
在利用习题证习题的教学时，要注意做好“铺垫”，准备好“已知”的习题，为解决“未知”的习题打好基础，才能使习题课上得生动、有效，达到预期的目的。

 一三六团中学：李应平
                  2002.3

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