“由果导因”，探究解题规律

山东省枣庄市台儿庄区实验小学   孙景权

 有这样一道题目：用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形，面积最大是多少？

在平时的教学中，下面这种解法是学生乃至老师最常犯的错误：根据“四边形的周长一定，围成的正方形的面积最大”这一规律，得出此题“围成正方形（正方形是特殊的长方形）的面积最大”。按照这一规律，解答如下：因为这个四边形一面是墙，由此可知这段篱笆其实只围了三个面，而又知围成正方形的面积最大，且边长为整米数，所以这个正方形的边长应是24÷3=8（米），最大面积应是8×8=64（平方米）。

其实这种解法和结果都是错误的，这是因为只有在“四边形周长一定”这个前提条件下，“正方形的面积”才是最大的。而本题中的篱笆实际只围了三个面，另外一面是墙，虽然篱笆的长度是固定的，但那面墙的长度却可以随着所围四边形的大小不同而发生变化，这样，围成四边形的周长也会有所不同。既然“四边形的周长不一定”，那么“正方形的面积最大”这一规律也就不能成立。以上这种解法，错误地把“三条边的总长度一定”，理解为“四条边的总长度一定”，因此才犯了这样的错误。

怎样才能把本题中的“三条边的总长度一定”转化为“四条边的总长度一定”呢？为了达到这一目的，在教学中，我是这样处理的：先把篱笆的总长度扩大2倍，然后用两段长度都是24米的篱笆分别在墙的两侧共同围成一个“封闭”的四边形，这样一来，这个“封闭”的四边形的周长就一定了，即它的周长是24×2=48（米）。根据“四边形的周长一定，围成的正方形的面积最大”这一规律，可以推出：在这些所围成的四边形当中，“面积的一半”进行相比，“正方形面积的一半”也是最大的。根据这一结论，可以先求出这个“封闭”的正方形的边长：48÷4=12（米），然后求出它的面积：12×12=144（平方米），最后求出墙一侧的也就是正方形一半的面积：144÷2=72（平方米），得出最大面积是72平方米。本题也可按照以下这种思路进行解答：根据上面的分析可知：在墙两侧围成的这个“封闭”的正方形的边长是12米，这个长度也就是在墙一侧围成的长方形的长，那么这个长方形的宽就是正方形边长的一半，即12÷2=6（米），因此，用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形，面积最大就是：12×6=72（平方米）。

 如果按照“由果导因”的方法分析此题，可以发现：“当只围三条边时，如果‘长是宽的2倍’或者‘宽是长的一半’时，则此时围成的面积最大”。找到了这个规律，解答类似的题目时，也就不难了。
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